前準備

より深い話題に進む前に、今後の話をしやすくするための準備をいくつか行っておきます。

構造図の簡略化

前回は、以下のような図を用いて部屋の構造を表していました。

今後もこのような図を使っていくのですが、部屋の構造が複雑になるにつれて、図もごちゃごちゃになってしまいます。そこでまずは、この図をもっと簡略化して描けないかを考えてみます。

多くの場合、無限入口を考える際には、本体とクローンを区別する必要がありません。*1 Infinite Enter 4, 5 なんかはその典型例ですね。本体にクローンを入れても、クローンに本体を入れても、いずれにせよ緑の部屋の再帰構造が作られていることに変わりはないので、結局は緑の ε に飛ぶわけです。

そこで、今回は 本体とクローンを同一視してよい ことにして、本体の箱とクローンの箱を区別せず、どちらも「同じ部屋に入るための箱」と思うことにします。「無限入口が発動したときの行き先がどこになるか」に焦点を絞って解説したいので、議論を簡単にするためにこのような仮定を置きました。

このもとで、先ほどの図は次のように簡略化することができます。

元の図に比べて、無限入口の挙動を考える上で重要な「黄色と緑が相互再帰している」という構造が見えやすくなりましたね。

ループ起点の法則

プレイヤーが、以下の図で表されるような部屋のループ構造に陥ったとします。

各 ○ および ☆ はそれぞれ別々の部屋を表すものとします。つまりこの図は、途中まではループしていないが、ある部屋 ☆ から先はループしている、という構造を描いたものです。

このとき、ループの起点となっている部屋 ☆ の無限入口が発動します。なぜなら、これらの部屋の中で最も先に 3 回入ることになる部屋が ☆ だからです。*2

この法則を知っていれば、無限入口によるプレイヤーの遷移を追いやすくなるので、ぜひ頭に置いておいてください。

多重 ε 部屋

まずはこちらをご覧ください。

右の青い ε 部屋は、左の青い部屋の無限入口の行き先です。青の中には青のクローンが、そして青 ε の中には青 ε のクローンが入っています。

この状態で青い部屋に進入すると何が起こるでしょうか？

青はループしているので、繰り返し入ることで無限入口が発動して青 ε に飛びます。しかし、そうして飛んだ先の青 ε もループしているので、青 ε に繰り返し入ることになります。このとき、プレイヤーの最終的な行き先は、以下の画像のような 2 つの ε が書かれた部屋になります。

よく「ダブル ε」と呼ばれている部屋ですね。この記事では、n 個の ε が書かれた部屋を n 重 ε 部屋 と呼ぶことにします。また、「縦に n 個並んだ ε」はこういったテキストに書き起こしにくいので、かわりに記号「εⁿ」で表します。つまり、ダブル ε は「ε²」、トリプル ε は「ε³」、という風に書きます。

さて、部屋 X に入るときの無限入口の発動ルールは、以下のようにまとめられます。

X への進入がループする場合、X への進入をキャンセルし、部屋 X の ε に飛ぶ。
ε への進入もループする場合、ε への進入をキャンセルし、部屋 X の ε² に飛ぶ。
ε² への進入もループする場合、ε² への進入をキャンセルし、部屋 X の ε³ に飛ぶ。
……

この文言を読むだけで多重 ε の挙動を理解するのは難しいので、以下でどんどん具体例を挙げていきます。

ケース 1

まずは、以上の画像で挙げた例について、プレイヤーの動きを追ってみましょう。

[→ 青] まず、青に入る。
[→ 青 → 青] 青の中の青に入る（ここで、青を起点としたループが起こる）。
[~~→ 青 → 青~~ →¹ ε] 無限入口ルール 1 により、青の進入ループをキャンセルして ε に飛ぶ。
[→¹ ε → ε] ε の中の ε に入る（ここで、ε を起点としたループが起こる）。
[~~→¹ ε → ε~~ →² ε²] 無限入口ルール 2 により、ε の進入ループをキャンセルして ε² に飛ぶ。
[→² ε²] 移動が完了した。

プレイヤーの移動の様子を [ ] の中に表示してみました。 → は通常の進入、→ⁿ は無限入口ルール n による進入です。 → 青 → … → 青という移動が起こると、ルール 1 によって →¹ ε に置き換わり、さらに →¹ ε → … → ε という移動が起こると、ルール 2 によって →² ε² に置き換わる、というように次々と無限入口が発動するわけです。